我來回答一下這個問題。
概括而言：受過刑事處罰的人，在新單位上班后因受過刑事處罰而被辭退，究竟合法不合法，關鍵在于新單位是什么性質的單位。為什么這樣說呢？
首先，談一下目前我國所謂的單位的基本分類。按照一般的理解，目前我國人們常說的單位，通常分為三大類：1、黨政機關。即由國家統一在中央、省、市、縣、鄉五級設立的地方黨委、政府、人大、政協、法院、檢察院、紀委監委、各民主黨派的領導機關，其工作人員絕大多數為公務員，也有少量的機關工人。公務員實行嚴格的編制管理，綜合管理的基本法律是《中華人民共和國公務員法》。2、事業單位。無論哪一級的國有事業單位，都是由各級地方政府統一設立的。事業單位通常是受黨政機關領導的，其工作人員通常包括三種編制類型：管理崗、專業技術崗、工勤崗，也實行編制管理。目前事業單位管理的基本法規依據是《事業單位人事管理條例》。3、各種類型的企業單位。企業和職工之間，只要雙方互相遵守《中華人民共和國勞動法》、《中華人民共和國勞動合同法》，按勞動合同的規定辦事即可。這里必須強調的是：我國有大量的企業為國有企業，管理上比較嚴格、規范，對職工的要求也比較嚴格。與私營企業、小微企業完全沒有可比性。
概括而言，所謂的單位，根據單位性質的不同，其適用于的管理法律、法規也不同，對重新招考錄用、聘用或招收職工的要求自然也不同，甚至是大相徑庭。
其次，再談一下刑事處罰的含義和范圍。按照《中華人民共和國刑法》的規定，所謂的刑事處罰，一律稱為刑罰。刑罰分為主刑和附加刑兩類。其中：主刑分為管制、拘役、有期徒刑、無期徒刑、死刑五種；附加刑包括罰金、剝奪政治權利、沒收財產三種。附加刑既可以和主刑一起適用，當然也可以獨立適用?？偠灾?，不論是被人民法院判處了主刑，還是判處了附加刑，都是被判處了刑罰。尤其要強調的是：被單獨判處了附加刑的，肯定也屬于刑罰的范圍，也是刑事處罰。這一點一定要注意。
再次，再看不同性質的單位錄用、聘用職工的法律規定。
1、公務員。所有黨政機關，在錄用公務員以及參公人員時，都必須嚴格遵守《中華人民共和國公務員法》的法律規定。在錄用公務員時，舊版《公務員法》第二十四條規定：
“下列人員不得錄用為公務員：
（一）曾因犯罪受過刑事處罰的；
（二）曾被開除公職的；
（三）有法律規定不得錄用為公務員的其他情形的?！?/p>
而新版《公務員法》第二十六條規定：
“下列人員不得錄用為公務員：
（一）因犯罪受過刑事處罰的；
（二）被開除中國共產黨黨籍的；
（三）被開除公職的；
（四）被依法列為失信聯合懲戒對象的；
（五）有法律規定不得錄用為公務員的其他情形的?！?/p>
詳細地對比一下，除了舊版《公務員法》中規定曾因犯罪受到刑事處罰的、被開除公職的，一律不得錄用為公務員之外，還增加了被開除黨籍、被列入失信聯合懲戒對象兩類，也一律不得錄用為公務員。很明顯：法律規定的公務員錄用這個進口扎得更嚴了、更緊了。
也就是說：如果曾經受過刑事處罰的人，被錄用到黨政機關工作，一旦被發現，100%肯定不僅會被取消錄用，而且肯定是報名資格審查、政審等環節工作人員的嚴重失職行為，肯定會被嚴肅追究黨政紀律責任的，后果會相當地嚴重的。
因此，假如受到刑事處罰的人被錄到黨政機關上班，發現后被取消錄用，是有明確的法律根據的，當然肯定是合法的。還可以肯定的是：一旦出現這種事情，絕對是一個超級大丑聞，很多人會因此丟官背處分的。
2、事業單位工作人員。就目前來說，事業單位管理的法規是《事業單位人事管理條例》。雖然沒有見到非常明確的政策規定強調不能聘用受過刑事處罰的人。但是，在事業單位招聘事業人員時，都必須發布明確的招聘公告，對報名資格、考試、資格審查事項做出明確的規定，在實際招聘資格審查、考察等環節，具體的要求與對公務員的要求基本大同小異。
例如，某機關招聘事業人員，就明確規定：“因犯罪受過刑事處罰人員，曾被開除黨籍、開除公職的人員，曾在各級公職人員招考中被認定有舞弊等嚴重違反考試錄用紀律行為的人員，被依法列入失信聯合懲戒對象名單的人員，以及有法律法規規定不得聘用為事業單位工作人員的其他情形的人員，不得報考?！边@與公務員法的要求幾乎一致。
也就是說：既便是已經辦理了聘用手續，一旦發現本人曾經受到過刑事處罰，也肯定會被取消聘用。這是毫無疑問的事情。
3、企業職工。從根本上講，企業職工與企業之間的雇傭與被雇傭，是在協商一致基礎之上的、平等的民事主體之間簽定的勞動合同關系，是一種雙向選擇關系。企業可以按企業的要求選擇職工，尤其是待遇很好的國有企業、壟斷企業，當然可以優中選優；職工也可以按自身的心理預期選擇企業，大不了職工單方面解除勞動合同，另謀各方面待遇和條件更好的企業。無論哪一方面違反勞動合同的規定，相對一方按雙方簽訂的勞動合同的規定，按《勞動法》、《勞動合同法》的法律規定處理即可。假如某國有企業與一個受過刑事處罰的人準備簽訂勞動合同，卻發現其有違法犯罪記錄，當然可以不與其簽訂勞動合同，即使已經簽訂了勞動合同，也是可以解除的。
無論如何講，就是一句話：不論在任何的工作崗位工作，沒有嚴重的違法犯罪紀錄，是對一個公民最基本的要求。當然，對于一些私營企業、小微型企業，根本不管其職工是否受到過刑事處罰，也是可以的，肯定也不違法。
最后，回答題主提出的問題：受過刑事處罰的人到新單位上班后因此事被辭退合法嗎？綜上所述，受過刑事處罰的人在重新就業時，絕對不可能被黨政機關錄用為公務員，也幾乎沒有被聘用為事業單位職工的機會。這是肯定的。至于各種類型的企業，是否與受過刑事處罰的人簽定勞動合同，其實完全是企業經營自主權范圍內的事情，雇傭了可以，不雇傭也可以。國家法律對此并沒有明確的規定。不過，如果企業參照、比照或援引《中華人民共和國共和國勞動合同法》第三十九條的規定：“勞動者有下列情形之一的，用人單位可以解除勞動合同：……（六）被依法追究刑事責任的?！边@是用人單位單方解除勞動合同的情形，一般也稱為過失性辭退，當然也是可以的。
總之，曾經受到刑事處罰，毫無疑問是人生的重大污點，要重新進入體制內單位工作，幾乎沒有任何可能性；要進入各種條件好、工資福利待遇好一些的國有企業，一般情況下，也會被嫌棄，遭遇重重困難，難度極大。這從一個側面提醒每一個公民：無論如何都要遵紀守法，決不能違法犯罪。否則，這一輩子很可能將難見天日，難有作為，最終導致終生貧困潦倒。